你也能拿高薪-第13部分

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分数个物品的情况，而此物品又是不可分割的，这就容易使人迷惑。其实，在解答这类问题时，如果我们能换个思维方式，尝试一下逆向思维，往往能有惊奇的发现。　　　　
　　　　分月饼　　　　
　　　　中秋节到了，班级里买回了一箱月饼准备分给同学们。第1个同学取走了1块月饼和剩余月饼的1/9，第2个同学取走了2块月饼和剩余月饼的1/9，第3个同学取走了3块月饼和剩余月饼的1/9，第4个同学取走了4块月饼和剩余月饼的1/9，依次类推，把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学。　　　　
　　　　请问班级共有多少个同学，共有多少块月饼？　　　　
　　　　分析与解答　　　　
　　　　此题需逆向思考。　　　　
　　　　最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同。他前面一个同学取走全班人数减1块月饼和剩余月饼的1/9。由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9。即，在最后一个同学取月饼的时候，剩余月饼应是8的倍数。　　　　
　　　　假设最后一个同学取走的是8块月饼。那么，全班共有8个同学。第7个同学取走7块月饼再加上剩余9块月饼的1/9共8块月饼。第7、第8个同学一共取走16块月饼，这应该是第6个同学取走6块月饼后剩余月饼的8/9。我们可以得到第6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/（8/9）=18。第6个同学取走的月饼数为6＋18/9＝8。　　　　
　　　　第5个同学取走5块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8=24块。则第5个同学取走5块月饼后剩余的月饼数为24/（8/9）=27块。第5个同学共取走5＋27/9=8块月饼。　　　　
　　　　第4个同学取走4块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8　=32块。则第4个同学取走4块月饼后剩余的月饼数为32/（8/9）=36块。第4个同学共取走4＋36/9=8块月饼。　　　　
　　　　第3个同学取走3块月饼后剩余月饼的8/9为8＋8＋8＋8＋　8=40块。则第3个同学取走3块月饼后剩余的月饼数为40/（8/9）=45块。第3个同学共取走3＋45/9=8块月饼。同样，第2、第1个同学也分别取走8块月饼。　　　　
　　　　综上所述，每个同学都取走8块月饼。因此，共有8个同学，64块月饼。　　　　
　　　　分苹果　　　　
　　　　小咪家里来了5位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6位小朋友，可是家里只有5个苹果。怎么办呢？只好把苹果切开了，可是又不能切成碎块，小咪的爸爸希望每个苹果最多切成3块。这就成了又一道题目：给6个孩子平均分配5个苹果，每个苹果都不许切成3块以上。　　　　　
　　　　小咪的爸爸是怎样做的呢？　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　苹果是这样分的：把3个苹果各切成两半，把这6个半边苹果分给每人1块。另2个苹果每个切成3等份，这6个1/3苹果也分给每人1块。于是，每个孩子都得到了一个半边苹果和一个1/3苹果，6个孩子都平均分配到了苹果。　　　　
　　　　半张唱片　　　　
　　　　张三和李四都热衷于解难题，他们的最大乐趣就是彼此用难题难住对方，或难倒他们的朋友。　　　　
　　　　有一次，张三和李四经过一家唱片店。　　　　　
　　　　这时，张三问李四：“你是不是还有西部乡村音乐的唱片？”　　　　
　　　　李四说：“没有了，我把我唱片的一半和半张唱片给了小赵。”　　　　
　　　　李四接着说：“然后我把我剩下的另一半，加上半张给了小吴。”　　　　
　　　　李四：“这样我就只剩下一张唱片了，如果你能告诉我原先我有几张唱片，我就把这最后一张送给你。”　　　　
　　　　张三真的被难倒了，因为他实在想不出这半张唱片有什么用处！　　　　　
　　　　你能帮他解决这个难题吗？　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　此题很容易使人掉入东西的一半再加上1/2，不可能等于一个整数的陷阱里。　　　　
　　　　如果走入这个迷宫，就难见天日了！　　　　　
　　　　这题的关键在于：奇数唱片的一半，再加上半张唱片，正好是个整数。　　　　
　　　　由于李四最后一次送出唱片后剩一张。他在给小吴1张之前，至少有3张。3的一半是，加上1/2等于2，所以李四最后送出了2张。现在很容易倒算回去，他原先有7张唱片。　　　　
　　　　


第2章　数学趣题解析3。　数字问题

　　　　猜数字…1　　　　
　　　　一个教逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生都非常聪明。　　　　
　　　　一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个。（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的。）　　　　
　　　　教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能。　　　　
　　　　问第二个，不能。　　　　
　　　　第三个，不能。　　　　
　　　　再问第一个，不能。　　　　
　　　　第二个，不能。　　　　
　　　　第三个：我猜出来了，是144！　　　　
　　　　教授很满意的笑了。请问你能猜出另外两个人的数吗？请说出理由！　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　答案是：36和108　　　　
　　　　思路如下：　　　　
　　　　首先，说出此数的人应该是两数之和的人，因为另外两个加数的人所获得的信息应该是均等的，在同等条件下，若一个推不出，另一个也应该推不出。（当然，我这里只是说这种可能性比较大，因为毕竟还有个回答的先后次序，在一定程度上存在信息不平衡）　　　　
　　　　另外，只有在第三个人看到另外两个人的数是一样时，才可以立刻说出自己的数。　　　　
　　　　以上两点是根据题意可以推出的已知条件。　　　　
　　　　如果只问了一轮，第三个人就说出144，那么根据推理，可以很容易得出另外两个是48和96，怎样才能让老师问了两轮才得出答案了？这就需要进一步考虑：　　　　
　　　　A：36（36/252）B：108（108/180）C：144（144/72）　　　　
　　　　括弧内是该同学看到另外两个数后，猜测自己头上可能出现的数。现推理如下：　　　　
　　　　A，B先说不知道，理所当然，C在说不知道的情况下，可以假设如果自己是72的话，B在已知36和72条件下，会这样推理——“我的数应该是36或108，但如果是36的话，C应该可以立刻说出自己的数，而C并没说，所以应该是108！”然而，在下一轮，B还是不知道，所以，C可以判断出自己的假设是假的，自己的数只能是144。　　　　
　　　　猜数字…2　　　　
　　　　老师从1~50之间（大于1小于50）选了两个自然数，将两数之积告诉同学P（Product），两数之和告诉同学S（Sum），问两位同学能否推出这两个自然数？　　　　
　　　　S说：我知道你不知道这两个数，但我也不知道。　　　　
　　　　P说：我还是不知道。　　　　
　　　　S说：我知道这两个数啦！　　　　
　　　　P说：我也知道啦！　　　　
　　　　其他同学：我们也知道啦！　　　　
　　　　……　　　　
　　　　问：老师选出的两个自然数是什么？　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　说话依次编号为S1，P1，S2，P2。　　　　
　　　　设这两个数为x，y，和为s，积为p。　　　　
　　　　由S1，P不知道这两个数，所以s不可能是两个质数相加得来的，而且s29，那么P拿到29´；（s…29）必定可以猜出s了。所以和s为｛11，17，23，27，29｝之一，设这个集合为A。　　　　
　　　　由P1，乘积p必定含有因子2，而且含有两个质因子，而且最大的质因子不可能大于7，（假如含有因子11，就会有p至少是11´；2´；3，拆成11´；6或者22´；3不满足条件，假如含有因子13，就会有p至少是13´；2´；3，拆成13´；6或者26´；3也不满足条件），这条规则有助于简化和s的拆分。　　　　
　　　　（1）假设s=11。　　　　
　　　　11=2＋9=5＋6，有18=2´；9=3×6，只有2＋9落在集合A中，P不会说出P1。而30=5´；6=2´；15，11和17都落在集合A中，所以只有这一种情况会令P说P1，所以S拿到11可以断言S2。但是问题在于P会说出P2的话，必须要s=17时S说不出S2才行。　　　　
　　　　下面看看s=17的情况，17=2＋15=3＋14=5＋12=7＋10=　8＋9，由于p=2´；15=5´；6或p=3´；14=2´；21都会令P说出P1，所以s=17时S说不出S2。　　　　
　　　　所以s=11，p=30，这两个数是5和6的时候满足条件　　　　
　　　　（2）假设s=23，　　　　
　　　　23=2＋21=3＋20=5＋18=8＋15=9＋14，由于p=9´；14=6´；21或p=3´；14=2´；21都会令P说出P1，所以s=23时S说不出S2。　　　　
　　　　（3）假设s=27，　　　　
　　　　27=2＋25=3＋24=6＋21=7＋20=9＋18=12＋15，由于p=6´；21=　9´；14或p=12´；15=9´；20都会令P说出P1，所以s=27时S说不出S2。　　　　
　　　　（4）假设s=29，29=2＋27=4＋25=5＋24=8＋21=9＋20=14　＋15，由于p=9´；20=12´；15或p=5´；24=15´；8都会令P说出P1，所以s=27时S说不出S2。　　　　
　　　　综上所述：这两个数只可能是5和6。　　　　
　　　　数字找规律　　　　
　　　　11，21，33，45，55，61，？　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　正确答案：61　　　　
　　　　原则是：　　　　
　　　　1．求下一个数的时候，已知的最后一个数应为10进制的。　　　　
　　　　2．从11开始，按5进制、6进制、7进制……的顺序求下一个数，也就是11的5进制为21，21的6进制为33，33的7进制为45……，55的9进制为61。　　　　
　　　　符号问题　　　　
　　　　定义一种新运算*　　　　
　　　　已知：2*4=8　　　　
　　　　3*5=11　　　　
　　　　5*3=13　　　　
　　　　9*5=25　　　　
　　　　求3*7=？　　　　
　　　　　分析与解答　　　　
　　　　3*5和5*3得数差2，所以有两条思路：　　　　
　　　　8…2=6　　　　
　　　　11…3=8　　　　
　　　　13…5=8　　　　
　　　　25…9=16　　　　
　　　　8＋4=12　　　　
　　　　11＋5=16　　　　
　　　　13＋3=16　　　　
　　　　25＋5=30　　　　
　　　　然后就从第一条思路凑出来的。a*b=2*（较大数…1）＋a，所以3*7=2*（7…1）＋3=15。